Lekce 2
Rovnice se separovatelnými proměnnými

Rovnice se separovatelnými proměnnými - tvar rovnice

Definice. Rovnice se separovatelnými proměnnými má tvar: \[ y' = f(x)g(y). \tag{1} \] Zde \(x\) označuje nezávislou proměnnou, \(y = y(x)\) je neznámou funkcí. Předpokládejme, že funkce \(f\) a \(g\) jsou spojitými funkcemi.

Poznámka. Jsou-li hodnoty \(y_1, y_2,\ldots\) kořeny rovnice \(g(y) = 0,\) pak jsou konstantní funkce \(y = y_1, y = y_2, \ldots\) jsou řešeními rovnice (1).

Postup řešení. (i) Rovnici přepíšeme do tvaru: \[ \frac{dy}{g(y)} = f(x) dx \tag{2} \] Předpokládejme, že funkce \(f\) je spojitá na intervalu \(J_x\), funkce \(g\) je spojitá a nenulová na intervalu \(J_y\).
(ii) Rovnici (2) integrujme: \[ \int\frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx. \] Bude-li \(G(y)\) označovat primitivní funkci k funkci \(1/g(y)\) a \(F(x)\) primitivní funkci k funkci \(f(x)\), pak dostáváme: \[ G(y) = F(x) + C, \tag{3} \] kde \(C\in\mathbb R\) je integrační konstanta.
Jelikož je funkce \(1/g(y)\) spojitá a nenulová na intervalu \(J_y\), je zde stále kladná a nebo je stále zápornou funkcí. Tudíž její primitivní funkce \(G\) je na intervalu \(J_y\) ryze monotónní funkcí. Pak k ní existuje spojitě diferencovatelná inverzní funkce \(G^{-1}\) na intervalu \(I = G(J_y)\). Z rovnice (3) pak vyplývá: \[ y(x) = G^{-1}(F(x) + C). \]

Řešení Cauchyovy počáteční úlohy. Uvažujme bod \((x_0,y_0)\in J_x\times J_y\). Nechť je funkce \(f\) spojitá na intervalu \(J_x\), funkce \(g\) je spojitá a nenulová na intervalu \(J_y\). Za těchto předpokladů existuje řešení Cauchyovy počáteční úlohy: \begin{eqnarray*} y' &=& f(x) g(y)\\ y(x_0) &=& y_0. \end{eqnarray*} Toto řešení je lokálně jednoznačně určeno. To znamená, že jsou-li \(y_1\) a \(y_2\) dvě řešení C. úlohy, potom existuje okolí \(U(x_0\)) bodu \(x_0\) na němž \(y_1\equiv y_2\). Pro každé \(y\in J_y\) položme: \[ G(y) = \int_{y_0}^{y} \frac{ds}{g(s)}. \] Dále položme pro každé \(x\in J_x\): \[ F(x) = \int_{x_0}^{x} f(t)dt. \] Jak víme, tak za daných předpokladů existuje na intervalu \(I = G(J_y)\) k funkci \(G\) inverzní spojitě diferencovatelná funkce \(G^{-1}:I \to J_y\). Povšimněme si, že \(F(x_0) = 0 = G(y_0)\). Tedy \(F(x_0)\in I\). Ze spojitosti vyplývá existence \(\delta >0\) tak, že \(U_{\delta}(x_0)=(x_0-\delta, x_0+\delta)\subset J_x\) a pro každé \(x\in U_{\delta}(x_0)\) platí \(F(x)\in I.\) Dále pro každé \(x\in U_{\delta}(x_0) \) položme \[ y(x) = G^{-1}(F(x)). \tag{4} \] Dále pro každé \(x\in U_{\delta}(x_0)\) máme \(F(x) = G(y(x))\) a tedy \begin{eqnarray*} f(x) &=& F'(x) = [G(y(x))]'\\ &=& G'(y(x))\cdot y'(x)=\frac{1}{g(y(x))}\cdot y'(x). \end{eqnarray*} Tedy pro každé \(x\in U_{\delta}(x_0)\) platí \[ y'(x) = f(x) g(y(x)) \] a \[ y(x_0) = G^{-1}(F(x_0)) = G^{-1}(0)=y_0. \]

Poznamenejme ještě, že existence derivace \(y'(x)\) pro každé \(x\in U_{\delta}(x_0)\) vyplývá z diferencivatelnosti inverzní funkce \(G^{-1}\) a z diferencovatelnosti funkce \(F(x)\).

Ukažme ještě, že řešení Cauchyovy počáteční úlohy je určeno lokálně jednoznačně. Předpokládejme za tím účelem, že funkce \(z = z(x)\) řeší na jistém okolí \(U_{\eta}(x_0)\) bodu \(x_0\) Cauchyovu počáteční úlohu, tj. \begin{eqnarray*} z'(x) &=& f(x)\cdot g(z(x)),\ \ \forall x\in U_{\eta}(x_0)\\ z(x_0) &=& y_0. \end{eqnarray*} Bez újmy na obecnosti můžeme též předpokládat, že pro každé \(x\in U_{\eta}(x_0)\) platí \(g(z(x))\neq 0\). Na okolí \(U_{\eta}(x_0)\) je splněna rovnost: \[ \frac{z'(x)}{g(z(x))} = f(x). \] Odtud plyne pro každé \(x\in U_{\eta} (x_0)\): \[ F(x) = \int_{x_0}^x f(t)dt = \int_{x_0}^x \frac{z'(t)}{g(z(z))}dt = \int_{y_0}^{z(x)}\frac{ds}{g(s)}=G(z(x)). \] Potom pro každé \(x\in U_{\delta}(x_0)\cap U_{\eta}(x_0)\) máme: \[ z(x) = G^{-1}(F(x)) = y(x). \] Takto jsme dokázali lokální jednoznačnost řešení Cauchyovy počáteční úlohy za předpokladu, kdy je \(g(y_0)\neq 0.\)